亚州av综合色区无码一区,午夜一区二区三区亚洲影院电影网,天堂а√在线地址,性人久久网av,无码内射成人免费喷射

曉木蟲
學(xué)術(shù)數(shù)據(jù)庫客戶端

馬丁·加德納:數(shù)學(xué)世界的無冕之王

 找回密碼
 注冊新賬號

QQ登录

微信登录

馬丁·加德納:數(shù)學(xué)世界的無冕之王

跳轉(zhuǎn)到指定樓層
撰文 科爾姆 · 馬爾卡希(Colm Mulcahy,美國斯貝爾曼學(xué)院的數(shù)學(xué)教授)  
         達(dá)納 · 理查茲(Dana Richards,美國喬治·梅森大學(xué)的計(jì)算機(jī)科學(xué)教授)
翻譯 孟令磊

一個(gè)巧妙的數(shù)學(xué)謎題,就像一個(gè)高超的魔術(shù),不僅能激發(fā)人們的興趣,同時(shí)還能揭示數(shù)學(xué)真理,并推動重要問題的研究。至少,在馬丁·加德納(Martin Gardner)看來,數(shù)學(xué)謎題就是有著這樣的魅力。馬丁·加德納這個(gè)名字,一直與《科學(xué)美國人》的傳奇專欄——“數(shù)學(xué)游戲”(Mathematical Games)聯(lián)系在一起,他曾為這一專欄撰稿達(dá)四分之一個(gè)世紀(jì)。他擁有獨(dú)特的數(shù)學(xué)魔法技能,每月一次地為讀者展示一個(gè)個(gè)重要而又奇妙的數(shù)學(xué)謎題,也正是因?yàn)檫@樣,他有著來自全球各地的大量擁躉。讀者中既有默默無聞的普通人,也有聲名顯赫的知名人士,他們將“數(shù)學(xué)游戲”專欄比喻為導(dǎo)師,正是這個(gè)專欄,指引他們走上了專業(yè)數(shù)學(xué)或者相關(guān)領(lǐng)域的道路。

加德納為人謙遜。他既不追求各種獎(jiǎng)項(xiàng),也不熱衷于名譽(yù)。即便如此,他仍寫下了 100 多本書,書中涉及的內(nèi)容廣度令人驚訝,這些內(nèi)容在科學(xué)與人文之間搭建起了一座橋梁。這些書引起了許多公眾人物的關(guān)注和尊敬。獲得過普利策獎(jiǎng)的認(rèn)知科學(xué)家候世達(dá)(Douglas Hofstadter)稱贊他為“本世紀(jì)美國最偉大的智者之一”。古生物學(xué)家史蒂芬·杰伊·古爾德(Stephen Jay Gould)對他的評論是:“獨(dú)樹一幟的、最明亮的燈塔,他堅(jiān)守著理性和科學(xué),與圍繞我們的神秘主義和反智主義對陣!闭Z言學(xué)家諾姆·喬姆斯基(Noam Chomsky)則這樣描述加德納對當(dāng)代知識文化的貢獻(xiàn):“對于重要的高深問題,無論是探討的范圍、深度還是對問題的理解,他都是獨(dú)一無二的”。

盡管在 20 世紀(jì) 80 年代初期,加德納就不再為專欄定期撰稿,但他的卓越影響力一直延續(xù)到了今天。加德納于 2010 年去世,生前他完成了很多本書,還寫下了多篇綜述文章,到現(xiàn)在,他的粉絲群跨越了幾代人。讀者們?nèi)匀粫e行活動來慶祝他的生日,閱讀“數(shù)學(xué)游戲”專欄做出一些新發(fā)現(xiàn)。對這一具有開創(chuàng)性意義的專欄來說,要表達(dá)我們的尊重與紀(jì)念,可能最好的方式就是再次閱讀專欄。我們對加德納的工作報(bào)以敬意,也許會讓新一代人去思考,為什么到了 2014 年,趣味數(shù)學(xué)仍然重要。



在 1956 年 12 月份的“數(shù)學(xué)游戲”專欄中,加德納展示了一種名為“六角折變體”的結(jié)構(gòu),這是用一張涂有不同顏色的紙條,折疊而成的一個(gè)平面六角結(jié)構(gòu)。六角折變體可以多次扭轉(zhuǎn)和鋪平,從而顯示 6 種不同圖案。


從邏輯到六角折變體

加德納在數(shù)學(xué)圈非常有名望,但從傳統(tǒng)意義上來說,他并不是一名數(shù)學(xué)家。20 世紀(jì) 30 年代中期在芝加哥大學(xué)求學(xué)時(shí),他主修的是哲學(xué),這一專業(yè)使得他對邏輯很擅長,但缺乏數(shù)學(xué)訓(xùn)練(盡管他曾旁聽了一門叫做“初等數(shù)學(xué)分析”的課程)。然而,他十分精通數(shù)學(xué)趣題。他的父親是一位地理學(xué)家,向他介紹了在上個(gè)世紀(jì)之交非常有名的兩位趣味數(shù)學(xué)題創(chuàng)造者——山姆· 勞埃德(Sam Loyd)和亨利·厄內(nèi)斯特·杜登尼(Henry Ernest Dudeney)。15 歲開始,加德納定期在一些魔術(shù)雜志上發(fā)表文章,在文章中他經(jīng)常會探討魔術(shù)和拓?fù)鋵W(xué)之間相通的內(nèi)容。拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,主要研究圖形在不被撕裂的條件下變化(如被延展、扭曲或者變形)時(shí),其不變的性質(zhì)。例如,一個(gè)有手柄的咖啡杯和一個(gè)甜甜圈的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是相同的,因?yàn)樗鼈兙鶠榫哂幸粋(gè)洞的光滑曲面。

1948 年,加德納搬到紐約市,在那里他和葉史瓦大學(xué)的數(shù)學(xué)教授耶谷提耳·金斯伯格(Jekuthiel Ginsburg)成為了朋友。金斯伯格還是《數(shù)學(xué)手稿》(Scripta Mathematica)的編輯,這是一本旨在向普通讀者傳播數(shù)學(xué)的雜志,每季度出版一次。金斯伯格有這樣一個(gè)觀點(diǎn):“并不是非得成為畫家才能欣賞美術(shù)作品,也并不是非得成為音樂家才能欣賞美妙的音樂。我們想要證明的是,一個(gè)人不必成為數(shù)學(xué)家,也能夠領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的形式與形態(tài)之美,甚至是一些抽象的概念!痹谝粋(gè)適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī),加德納為雜志撰寫了一系列數(shù)學(xué)邏輯方面的文章,看起來這似乎是受到了金斯伯格觀念的影響。

1952 年,加德納在《科學(xué)美國人》上發(fā)表了他的第一篇文章,探討的是可以解決基本邏輯問題的機(jī)器。雜志編輯丹尼斯·弗拉納根(Dennis Flanagan),以及在很多年前就已接管雜志的出版人杰勒德·皮爾(Gerard Piel),熱切地希望能夠刊登更多的數(shù)學(xué)相關(guān)的文章。1956 年,弗拉納根和皮爾的同事詹姆斯·紐曼(James Newman)創(chuàng)作出版了《數(shù)學(xué)的世界》(The World of Mathematics)一書,該書十分暢銷,這使得弗拉納根和皮爾對這類文章內(nèi)容更加感興趣。同一年,加德納寄給他們一篇關(guān)于六角折變體(hexaflexagon)的文章。六角折變體是一種折疊的紙質(zhì)結(jié)構(gòu),這種結(jié)構(gòu)具有獨(dú)特的性質(zhì),魔術(shù)家和拓?fù)鋵W(xué)家都已經(jīng)對其展開了研究。這篇文章很容易就被錄用了,正式刊登于當(dāng)年 12 月份的雜志上。事實(shí)上,在這期雜志正式上市銷售之前,加德納就收到了邀請:每月為雜志撰寫一篇同樣風(fēng)格的專欄文章。

加德納最初撰寫的文章都是非常初級的內(nèi)容,但隨著他和讀者的理解水平的提高,探討的數(shù)學(xué)內(nèi)容逐減變得深?yuàn)W。在某種意義上說,加德納建立起了自己的某種社交網(wǎng)絡(luò),當(dāng)然,通過這一社交網(wǎng)絡(luò)傳播內(nèi)容,要依靠美國郵政,因此速度很慢。加德納將自己獲得的信息與大家共享。這些人原本處于隔離狀態(tài),加德納的行動激勵(lì)他們有了更多的研究和發(fā)現(xiàn)。從大學(xué)時(shí)代開始,他就有保存文檔的習(xí)慣,因此保存了大量的、精心整理過的資料。通過自己建立的社交網(wǎng)絡(luò),加德納將這些資料內(nèi)容共享給大家,這讓他的朋友圈逐漸擴(kuò)大,同時(shí)朋友圈中的人也希望將自己的想法共享。任何給加德納寫信的人,幾乎都得到了他詳細(xì)的回復(fù),他簡直就像一個(gè)搜索引擎。在他的通信者和合作者中,有數(shù)學(xué)家約翰·霍頓·康韋(John Horton Conway)和佩爾西·戴康尼斯(Persi Diaconis),藝術(shù)家 M· C · 埃舍爾(M. C. Escher)和薩爾瓦多·達(dá)利(Salvador Dali),魔術(shù)師及懷疑論者詹姆斯·蘭迪(James Randi),以及作家艾薩克·阿西莫夫(Isaac Asimov)。

加德納的社交群體是多元化的,這體現(xiàn)了加德納兼收并蓄的興趣愛好——文學(xué)、魔術(shù)、理性、物理、科幻和哲學(xué),都是他感興趣的內(nèi)容。他是專業(yè)化時(shí)代的博學(xué)者。在每一篇文章中,他都好像能用很好的人文故事,將文章主題內(nèi)容講述出來。文章內(nèi)容會令很多讀者聯(lián)想起一些之前可能已被忽略的想法。比如在一篇主題為“Nothing”的文章中,加德納討論的內(nèi)容遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)學(xué)概念上的零和空集(沒有任何元素的集合),并且從歷史、文學(xué)和哲學(xué)的角度,探討了“Nothing”這一概念。加德納是一個(gè)非常會講故事的人,因此讀者們爭相來閱讀他的專欄。他很少為一篇文章只準(zhǔn)備一個(gè)故事結(jié)局,相反,他會耐心地收集足夠的材料,從而編織出一個(gè)內(nèi)容豐富的故事,故事中會包含對問題的相關(guān)見解以及對未來研究的探究。他常常要花  20 天的時(shí)間來研究問題并寫作。對于向公眾傳播數(shù)學(xué)問題來說,專欄作家比專家更具優(yōu)勢,因此他認(rèn)為自己需要更加努力地學(xué)習(xí)。

加德納善于將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為易讀、有趣的內(nèi)容,從而推動讀者進(jìn)一步地探究這些問題。以只有高中文化的家庭主婦瑪喬麗·賴斯(Marjorie Rice)為例,她利用在加德納專欄學(xué)到的知識,發(fā)現(xiàn)了幾種新型的完全嵌合五邊形(將這些五邊形像鋪瓷磚一樣拼合在一起,不會有任何缺口)。她寫信告訴了加德納,加德納再將這一發(fā)現(xiàn)分享給數(shù)學(xué)家多里斯·沙特施奈德(Doris Schattschneider)來檢驗(yàn)其正確性。加德納的專欄催生了一大批新發(fā)現(xiàn)。1993 年,加德納總結(jié)了 5 個(gè)讀者反映最熱烈的主題:索羅門· W · 戈洛姆(Solomon W. Golomb)的“多格骨牌”(polyomino),康韋的“生命游戲”(Game of Life),牛津大學(xué)羅杰·彭羅斯(Roger Penrose)的非周期性平面鋪磚法、RSA 加密和紐科姆悖論(Newcomb's paradox,見“紐科姆悖論:誰想成為百萬富翁?”)

多格骨牌與生命游戲

這些謎題能夠如此受歡迎,或許是因?yàn)椋x者利用日常用品如棋盤、火柴棍、撲克牌或者廢紙,在家中很容易就可以操作。1957 年 5 月,加德納描述的戈洛姆的工作,就是這樣一個(gè)實(shí)例。那時(shí),戈洛姆剛剛研究了多格骨牌的性質(zhì)。將多個(gè)全等正方形的邊互相連接起來,構(gòu)成的圖形就是多格骨牌,二格骨牌有兩個(gè)正方形,三格骨牌有 3 個(gè),四格骨牌有 4 個(gè),以此類推。在各種鋪磚問題、邏輯問題和流行游戲(如俄羅斯方塊之類的視頻游戲)中,都會出現(xiàn)多格骨牌。讀者們對這些形狀都已熟知,但正如加德納所說的那樣,戈洛姆將此問題向前推進(jìn)了一步,證明了“如何排列才能構(gòu)成多格骨牌圖案”的一些定理。

在康韋發(fā)明的“生命游戲”中,出現(xiàn)的一些圖案就是多格骨牌,該主題刊登在 1970 年 10 月份的《科學(xué)美國人》上。這個(gè)游戲由一個(gè)包含若干方格子的二維矩形組成,每個(gè)格子內(nèi)有一個(gè)細(xì)胞,細(xì)胞有“活”或“死”兩種狀態(tài),而它們究竟是存活(可以增殖)還是死亡,要依照某種規(guī)則來決定。例如,周圍有 2~3 個(gè)存活細(xì)胞時(shí),這個(gè)細(xì)胞可以存活;周圍沒有細(xì)胞,或者有 1 個(gè)、4 個(gè)以及更多細(xì)胞時(shí),這個(gè)細(xì)胞就會死亡。游戲在某種初始狀態(tài)開始,然后這些細(xì)胞依照規(guī)則進(jìn)化。“細(xì)胞自動機(jī)”(在一定規(guī)則下運(yùn)轉(zhuǎn)的細(xì)胞)可以在非常精細(xì)的層面上模擬復(fù)雜系統(tǒng),而“生命游戲”就屬于這一領(lǐng)域?淀f認(rèn)為,他自己親手設(shè)計(jì)的這個(gè)游戲是一臺很小的雙態(tài)自動機(jī),在模擬復(fù)雜的進(jìn)化性行為上,有著不可言喻的潛力。

在專欄發(fā)表后,“生命游戲”迅速引起了狂熱的追崇。加德納回憶當(dāng)時(shí)的情形后說到,“全世界有計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)家們都在編寫生命游戲程序”。一些讀者很快就做出了很多驚人的發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)家很早就知道,利用很少幾個(gè)公理,就可以得到很多具有深遠(yuǎn)意義的定理,在上世紀(jì) 70 年代初,研究“生命游戲”的群體就已經(jīng)親身體驗(yàn)到這種神奇的魅力了。40 余年后,“生命游戲”仍在激發(fā)新發(fā)現(xiàn):2010 年 5月,媒體報(bào)道了一種名為二階染色體(Gemini)的新型圖樣,這種圖樣能夠?qū)崿F(xiàn)自我構(gòu)建——在向一個(gè)傾斜方向移動的過程中,它可以自我復(fù)制并摧毀母體圖樣。而第一個(gè)可以克隆自身及規(guī)則的生命游戲復(fù)制體,也于 2013 年 11 月問世。


彭羅斯瓷磚與公共密鑰

康韋還將“彭羅斯瓷磚”介紹給加德納,這是數(shù)學(xué)家兼物理學(xué)家彭羅斯研究的一種非周期性的平面鋪磚法。以此為內(nèi)容寫成的那期專欄文章,再次引起了轟動。這種瓷磚的特點(diǎn)是,包含兩種不同形狀的瓷磚,由于和兩種玩具形狀相似,這兩種瓷磚分別被稱為“風(fēng)箏”和“飛鏢”。如果每種瓷磚都可以無限量提供,通過不同的組合方式,這些瓷磚可以無空隙地覆蓋無窮大的地板,這些組合方式顯示了明顯的非周期性特性。傳統(tǒng)的瓷磚形狀——正方形、三角形、六邊形,可以以周期性的方式鋪滿地板。換句話說,鋪好的地磚上存在很多類似的點(diǎn),站在這些點(diǎn)上,你腳下的瓷磚形成的圖樣是完全相同的。但當(dāng)“風(fēng)箏”和“飛鏢”組合時(shí),或者其他兩種或更多種彭羅斯瓷磚組合時(shí),按照一定規(guī)則排列的時(shí)候,就不會出現(xiàn)這種周期性的圖樣。彭羅斯瓷磚拼成的圖案十分優(yōu)美,康韋繪制的一副瓷磚圖案的草圖,成為了《科學(xué)美國人》1977 年 1 月刊的封面。


“彭羅斯瓷磚”倍受追捧的主要原因是,可以生成“非周期性”的圖案:如果有無數(shù)的瓷磚,可以利用它們無空缺地鋪滿地板,而且原始構(gòu)型絕無重復(fù)。加德納在1977年1月的專欄中介紹了彭羅斯鋪磚法,在文中兩種瓷磚被叫做“風(fēng)箏”和“飛鏢”。為了保證非周期性,瓷磚必須按照一定的規(guī)則鋪設(shè)。加德納把上邊起始的構(gòu)圖組合叫做“無窮的星圖”。

在此之后,研究彭羅斯瓷磚特性的群體取得了很多進(jìn)展,比如發(fā)現(xiàn)了具有自相似性(self-similarity)的圖樣,這種圖樣在不同尺度上有著相似的結(jié)構(gòu),也能從分形角度來欣賞(分形也獲得了廣泛的關(guān)注,在很大程度是因?yàn)榧拥录{在 1976 年 12 月發(fā)表的專欄文章)。彭羅斯瓷磚還導(dǎo)致了準(zhǔn)晶體(一種有序、非周期的結(jié)構(gòu))的發(fā)現(xiàn)。彭羅斯瓷磚竟然能與這些內(nèi)容聯(lián)系到一起,沒有人會比加德納更高興,他評價(jià)到,“對于一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),可能最初看起來并沒有什么實(shí)際價(jià)值,但最終卻證明,大自然中早就存在這些規(guī)律了。這些結(jié)果就是完美的實(shí)例”。

1977 年 8 月,加德納預(yù)見了另一個(gè)當(dāng)代重要進(jìn)展:“幾十年后”,電子郵件將會出現(xiàn)在個(gè)人通訊中;谶@一預(yù)測,加德納撰寫了一篇向公眾介紹 RSA 密碼的專欄文章。RSA 密碼是一種基于陷門函數(shù)(trapdoor function)的公共密鑰加密系統(tǒng),陷門函數(shù)的特點(diǎn)是,向一個(gè)方向計(jì)算很容易,但逆向計(jì)算則非常困難。20 世紀(jì) 70 年代中期,這種系統(tǒng)并不是新事物,但計(jì)算機(jī)科學(xué)家羅恩· 李維斯特(Ron Rivest)、阿迪· 沙米爾 (Adi Shamir)和倫納德· 阿德爾曼(Leonard Adleman,RSA 就是以三位科學(xué)家名字的首字母命名的),利用大素?cái)?shù)(prime number,僅能被 1 和自身整除的數(shù))設(shè)計(jì)出了一種全新的陷門函數(shù)。對于兩個(gè)足夠大的素?cái)?shù)乘積,要進(jìn)行因子分解會非常困難,RSA 密碼的安全性就是依賴這種困難性。

通過學(xué)術(shù)期刊發(fā)表研究結(jié)果之前,李維斯特、沙米爾和阿德爾曼寫信給加德納,希望能將這一發(fā)現(xiàn)迅速告知更多讀者。加德納十分清楚新發(fā)現(xiàn)的意義,并且一反常態(tài)地很快完成了專欄文章。他在文中向讀者發(fā)出了一個(gè)挑戰(zhàn),請大家試著去解碼一條信息,其中需要分解一個(gè) 129 位的整數(shù),這在當(dāng)時(shí)是一個(gè)不可能完成的任務(wù)。提出挑戰(zhàn)之前,加德納智慧地引用了詩人埃德加·愛倫·坡(Edgar Allan Poe)的話作為引言:“我們可以斷言,目前的人類智慧,不能創(chuàng)造出一個(gè)人類智慧不能解碼的密碼”。事實(shí)也的確如此,僅僅 17 年后,一個(gè)龐大的合作組,靠著 600 多名自愿者和 1 600 臺計(jì)算機(jī),最終完成了加德納的挑戰(zhàn),揭示了編碼信息的內(nèi)容:“神奇詞語是神經(jīng)質(zhì)的魚鷹!盧SA 挑戰(zhàn)持續(xù)了很多年,直到 2007 年才結(jié)束。

后加德納時(shí)代

1980 年,加德納決定結(jié)束專欄寫作,專注于其他的寫作計(jì)劃!犊茖W(xué)美國人》迅速找到了一位接任者:候世達(dá)。他完成了25篇專欄文章,取名“文字游戲”(Metamagical Themas)——這是數(shù)學(xué)游戲(Mathematical Games)的變形詞(Metamagical Themas 與 Mathematical Games 兩個(gè)單詞組成字母一樣,但順序不同——譯者注)。候世達(dá)的很多文章都是討論人工智能,這是他的專業(yè)領(lǐng)域。這之后,A·K·德威德尼(A. K. Dewdney)接替了候世達(dá),在7年時(shí)間里這一專欄成為了“計(jì)算機(jī)娛樂”(Computer Recreations)。隨后的10年是伊安·斯圖爾特(Ian Stewart)的“數(shù)學(xué)娛樂”(Mathematical Recreations)專欄。再后來丹尼斯· 薩薩 (Dennis Shasha)開設(shè)了很長時(shí)間的“頭腦大冒險(xiǎn)”(Puzzling Adventures)專欄,專欄內(nèi)容基于計(jì)算和算法原理。斯圖爾特曾評論到,“我們確實(shí)在努力嘗試復(fù)制這一專欄的精神:以游戲的形式將重要的數(shù)學(xué)思想呈現(xiàn)給讀者”。

過去20年里,這一專欄的精神在加德納集會(Gathering 4 Gardner)上得到了延續(xù)。該會議每兩年舉辦一次,僅限受邀人士參加。數(shù)學(xué)家、魔術(shù)師和數(shù)學(xué)謎題愛好者聚集在一起,希望通過數(shù)學(xué)游戲繼續(xù)分享各種內(nèi)容。加德納本人參加了最初的兩屆會議。近些年,會議參加者的范圍逐漸擴(kuò)大,既有一些老朋友,如戈洛姆、康韋、埃爾溫· 伯利坎普(Elwyn Berlekamp)、理查德· 蓋伊(Richard Guy)和羅納德·格雷厄姆(Ronald Graham),也有冉冉升起的學(xué)術(shù)新星,如計(jì)算機(jī)科學(xué)家埃里克·德邁納(Erik Demaine)和視頻專家韋·哈特(Vi Hart),還有一些非常年輕的血液——極具才華的十幾歲的年輕人,如尼爾·比克福德(Neil Bickford)、朱利安·漢斯(Julian Hunts)和伊!げ祭剩‥than Brown)。2010年加德納去世之后,為表示對他的敬意,全球各地每年10月都會舉辦紀(jì)念派對,任何人都可以參加或舉辦這類活動。

盡管加德納已經(jīng)離開,但時(shí)至今日,我們?nèi)杂泻芎玫睦碛扇乃墓ぷ髦形§`感,去支持趣味數(shù)學(xué)。關(guān)注益智游戲和相關(guān)活動,經(jīng)常會獲得重要發(fā)現(xiàn),正如本篇文章介紹的那些內(nèi)容。加德納的每一篇文章,幾乎都引發(fā)了愛好者和專業(yè)人士的熱烈討論。他的大量專欄文章現(xiàn)在都可以擴(kuò)展成專業(yè)書籍,這些書籍甚至可以塞滿整個(gè)書架。此外,從數(shù)學(xué)的角度去考慮問題,對于培養(yǎng)思路的條理性和嚴(yán)密性是非常有價(jià)值的。加德納認(rèn)為趣味數(shù)學(xué)不僅僅是一種智力游戲,而是通往更廣闊數(shù)學(xué)成就的途徑。

1998 年,加德納在生命的最后階段,在《科學(xué)美國人》上刊登了一篇回顧性的文章,他思考到,“趣味數(shù)學(xué)和嚴(yán)肅數(shù)學(xué)之間的界限是很模糊的……40 年來,我一直在竭盡全力說服教育工作者,趣味數(shù)學(xué)應(yīng)該納入正規(guī)的教學(xué)課程。在教學(xué)中應(yīng)該定期介紹趣味數(shù)學(xué),這種方式能引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。但到目前為止,這方面的改革還沒有什么進(jìn)展”。

如今,互聯(lián)網(wǎng)上有著大量的數(shù)學(xué)相關(guān)的應(yīng)用、教程和博客以及社交媒體,它們能以比加德納更快的速度,將那些志同道合的愛好者們聯(lián)系起來。但這種速度可能已有了下降的趨勢:對于現(xiàn)今基于網(wǎng)絡(luò)的交流來說,也許很容易得到“有意思!”這樣的快速回應(yīng),但只有經(jīng)過仔細(xì)思考,才能真正有所收獲,發(fā)現(xiàn)讓我們感到驚奇的東西。我們相信,加德納專欄成功的一部分原因,是他和他的讀者們,不厭其煩地去交流各種思考細(xì)節(jié)和經(jīng)過深思熟慮得到的答案。在現(xiàn)在這樣一個(gè)缺乏耐心的時(shí)代,也許只有時(shí)間可以證明,新的智力游戲的群體,能否傳承加德納的使命,激勵(lì)后來的人們得到新的見解和發(fā)現(xiàn)。

* * *
來次自我測驗(yàn)吧

趣味數(shù)學(xué)題分為許多大類,這些難題吸引了各類人才來求解。其中一些謎題是十分經(jīng)典的,我們選取了其中一些介紹給大家。

一些謎題僅僅需要基本推理就能解出。以一道腦筋急轉(zhuǎn)彎為例:在一座建筑的一層有 3 個(gè)開關(guān),三層有 1 個(gè)燈泡,3 個(gè)開關(guān)中只有 1個(gè) 能控制這個(gè)燈泡。另外兩個(gè)開關(guān)沒和任何東西相連。你可以把這些開關(guān)置于任意一種狀態(tài),然后去三樓確認(rèn)一下燈泡狀態(tài)。在不離開三樓的情況下,你能判斷哪個(gè)開關(guān)在控制這個(gè)燈泡嗎?只有一次嘗試的機(jī)會。

算術(shù)密碼問題更難一些,能夠更好地檢驗(yàn)益智游戲玩家的能力。在這類問題中,每個(gè)字母對應(yīng)一個(gè)單一的數(shù)字。例如下圖中的求和計(jì)算,你能算出每個(gè)字母對應(yīng)的數(shù)字,從而使算式成立嗎?


可視化謎題有助于求解幾何問題。做一個(gè)底面為正方形、4 個(gè)側(cè)面為等邊三角形的實(shí)心金字塔,再做一個(gè)實(shí)心四面體,四面體的 4 個(gè)面與金字塔側(cè)面的三角面相同。將金字塔的一個(gè)三角面和四面體的一個(gè)三角面粘貼在一起。最終形成的多面體有多少面?結(jié)果并不是 7 個(gè)!

游戲玩家們也像數(shù)學(xué)家一樣,有時(shí)必須接受一些難題挑戰(zhàn)。這些挑戰(zhàn)也許能夠反映普遍問題,也許要求嚴(yán)密的邏輯證明。以“連續(xù)等角多邊形”這類多邊形為例。這類多邊形的所有相鄰兩邊都成直角,邊長逐步增長:1、2、3、4,以此類推。最簡單的等角多邊形有 8 個(gè)邊,邊長分別為 1~8,如下圖所示。這是已知的連續(xù)等角多邊形中,唯一能夠鋪成平面的形狀。當(dāng)然等角多邊形還有很多。你能證明它們的邊數(shù)一定總是 8 的倍數(shù)嗎?



在許多難題中都會出現(xiàn)國際象棋的規(guī)則,包括“無法攻擊的皇后群體”(unattacked queens)這一系列問題。試想一下,在一個(gè) 5×5 的棋盤上有 3 個(gè)白皇后和 5 個(gè)黑皇后,你能將它們合理排列,從而使這兩種顏色的皇后都不能攻擊對方嗎?如果排除對稱和旋轉(zhuǎn)情況,答案只有一種。

* * *

紐科姆悖論:誰想成為百萬富翁?

馬丁·加德納在一份 1969 年的報(bào)紙上,讀到哲學(xué)家羅伯特·諾齊克(Robert Nozick)撰寫的文章,其中提到了一個(gè)名為“紐科姆悖論”(Newcomb's paradox)的著名問題。加德納將這一問題作為了 1973 年 7 月和 1974 年 3 月的專欄主題。這一由理論物理學(xué)家威廉姆·紐科姆(William Newcomb)創(chuàng)造的思想實(shí)驗(yàn),描繪了確定性和自由意志的神秘性,而且至今仍是哲學(xué)家激烈辯論的內(nèi)容。

游戲中有玩家和預(yù)言家。預(yù)言家包括超智能的外星人、巫師和無所不知的神靈,他們具有預(yù)測玩家行為的天賦。玩家感知不到預(yù)言家的預(yù)測內(nèi)容。在玩家面前有兩個(gè)箱子:一個(gè)箱子中始終裝有 1 000 美元,記為 A 箱,另外一個(gè)箱子中可能裝有 1 000 000 美元,記為 B 箱。玩家可以選擇只帶走 B 箱,或者把兩個(gè)箱子都帶走。游戲開始前,預(yù)言家會預(yù)測玩家的選擇。如果預(yù)言家認(rèn)為玩家會只拿箱子 B,那么這個(gè)箱子就含有 1 000 000 美元的獎(jiǎng)金。如果預(yù)言家認(rèn)為玩家會拿走兩個(gè)箱子,箱子 B 中就什么都沒有。

悖論就這樣產(chǎn)生了,要贏得最多的獎(jiǎng)金,有兩種相反的思考策略,但這兩種策略看起來都是合理的。第一種認(rèn)為,不用考慮預(yù)言家的預(yù)測,拿走兩個(gè)箱子始終能獲得更多獎(jiǎng)金。如果預(yù)言家預(yù)測玩家會拿走兩個(gè)箱子,玩家選擇兩個(gè)箱子會贏得 1 000 美元,只選擇 B 箱獲得 0 美元(見下表)。如果預(yù)言家預(yù)測玩家會只拿走B箱,玩家選擇兩個(gè)箱子就贏得 1 001 000 美元;只選B箱獎(jiǎng)金少一點(diǎn)(1 000 000美元)。



另外一種觀點(diǎn)認(rèn)為,最好的選擇是永遠(yuǎn)只拿 B 箱。他們的理由是,玩家的選擇和預(yù)言家的預(yù)測不一致的情況,是應(yīng)該忽略的,因?yàn)閮烧卟灰恢聲r(shí)說明預(yù)言家出錯(cuò)了,但按定義所說,這些預(yù)言家是不可能犯錯(cuò)的。選擇最后就變成了拿走兩個(gè)箱子得到 1 000 美元,而只拿 B 箱會得到 1 000 000 美元。

加德納的讀者們做出了大量的評論,詳細(xì)描述了各種各樣的結(jié)果,但在哪種策略更好的問題上,仍無結(jié)論。諾齊克在最初的報(bào)道中是這樣評論的,“對幾乎每個(gè)人來說,如何做出選擇都是完全清楚和明顯的。棘手之處在于,在這一問題上,人們幾乎會分為人數(shù)相等的兩方,每一方中都有大量的人認(rèn)為,對方的選擇是愚蠢的。”

馬丁·加德納:數(shù)學(xué)世界的無冕之王
很不錯(cuò)
樓主是超人
好帖就是要頂
真心頂
不錯(cuò)不錯(cuò)
論壇有你更精彩!
論壇有你更精彩!
謝謝您的分享!
謝謝您的分享!
好東西一定要看看!
大家都不容易!
論壇有你更精彩!
以后多分享一些這樣的有價(jià)值的帖子啊
以后多分享一些這樣的有價(jià)值的帖子啊
好東西一定要看看!
好東西一定要看看!
您需要登錄后才可以回帖 登錄 | 注冊新賬號

本版積分規(guī)則  | 请遵守晓木虫管理条例,不得违反国家法律法规

返回頂部