當(dāng)你站在小溪邊看著水流在橋樁下，卵石邊的漩渦時(shí)，有沒有覺得那是一個(gè)很特別的東西？
在今天的科學(xué)技術(shù)水平下，我們對溪中的水流可以說是了解得很透徹了。水流可以看成是無數(shù)微小的水“質(zhì)�！痹诮�(jīng)典力學(xué)下相互作用，并受著河床和引力的影響而運(yùn)動。如果我們愿意，我們可以用計(jì)算機(jī)模擬來重現(xiàn)任何水流的狀況，包括漩渦。
但問題是：這樣就算了解了漩渦了嗎？從微觀上來看，水流的速度分布，質(zhì)量分布在不同小溪中可以說是全然不同，在同一個(gè)地方也一直在變化中。但是漩渦就是漩渦，我們不會把它認(rèn)作別的東西。而且即使你在水里扔塊大石頭，水流分布肯定是有了很大變化，但那個(gè)漩渦仍然存在。是什么原因使得“漩渦”這種東西如此普遍和穩(wěn)定呢？
如果我們標(biāo)出漩渦附近各點(diǎn)的水流速度，我們會得到類似于下圖的結(jié)果。我們一眼就能看出，這個(gè)圖里有兩個(gè)漩渦，左面的是逆時(shí)針方向，右面的是順時(shí)針。想象一下我們把這張圖印在一塊橡膠膜上。不管你怎么拉扯讓膜變形，我們還是能認(rèn)出這兩個(gè)漩渦。那么你怎樣讓計(jì)算機(jī)來認(rèn)出它們呢？
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圖一：漩渦附近的速度場
一個(gè)辦法是考察沿著一個(gè)封閉路徑的速度方向變化。在圖中找一個(gè)沒有漩渦的地方（如路徑A），當(dāng)我們回到起點(diǎn)時(shí)，速度方向的變化是零。在漩渦的周圍（如路徑B），回到起點(diǎn)時(shí)速度方向變化是360度（逆時(shí)針繞行時(shí)）。而路徑C，雖然包圍了一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度相反的漩渦，但速度方向的變化和路徑B是一樣的。當(dāng)然我們還可以做進(jìn)一步的數(shù)學(xué)分析，但到此為止的觀察已經(jīng)表明了漩渦的三個(gè)重要性質(zhì)。首先，是否有漩渦可以通過一個(gè)封閉路徑上的速度方向變化來判斷。第二，這個(gè)判斷的結(jié)論與路徑的選擇細(xì)節(jié)沒有關(guān)系，而且速度的微小變化也不會影響結(jié)果。第三，封閉路徑上速度方向的變化一定是360度的整數(shù)倍。所以有漩渦和沒有漩渦這兩種狀態(tài)不可能通過速度的連續(xù)變化來得到，而必須是一個(gè)跳躍。也就是說，在外力影響較小的情況下，漩渦不容易產(chǎn)生，但一旦產(chǎn)生了也不容易消失。
從上面的分析我們還看到，漩渦這種現(xiàn)象不是取決于某一點(diǎn)的運(yùn)動狀況，而是一個(gè)整體的性質(zhì)。它對于部分的運(yùn)動狀況并不敏感，而有它自己的“生命”。而且，在水這種連續(xù)的介質(zhì)里，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度和位置都是可以連續(xù)變化的。但漩渦卻不是連續(xù)的：或者是沒有，或者是有整數(shù)個(gè)。對于這種基于整體分布的形狀而對部分性質(zhì)不敏感的東西，有個(gè)專門的數(shù)學(xué)工具來描述和學(xué)習(xí)它：拓?fù)鋵W(xué)。所以漩渦這種現(xiàn)象也可稱作為水流的拓?fù)洮F(xiàn)象。
值得一提的是：漩渦這種現(xiàn)象不光是水里有。臺風(fēng)就是大氣中的漩渦現(xiàn)象。它一旦形成，就可以穩(wěn)定地存在幾星期，移動上千公里。更推而廣之，漩渦這種拓?fù)洮F(xiàn)象并不一定要在流體中產(chǎn)生。任何物理量（如磁矩）如果具有角度這樣的性質(zhì)，即增加360后能回到原位，都有可能產(chǎn)生漩渦這樣的現(xiàn)象。
2016年物理諾貝爾獎的獲獎工作，是學(xué)習(xí)電子運(yùn)動中的拓?fù)洮F(xiàn)象。因?yàn)殡娮幼裱孔恿W(xué)而且通過電磁力相互作用，它的“漩渦”和水流有很大不同，也更加多姿多彩。而漩渦也只是多種拓?fù)洮F(xiàn)象中的一個(gè)。
2016年物理諾貝爾獎共發(fā)給了三名美國科學(xué)家：索列斯（David J. Thouless）得一半，哈爾丹（F.Duncan M. Haldane）和克斯特列茲（J. Michael Kosterlitz）平分另一半。這個(gè)獎是表彰他們在材料的拓?fù)湎嗪屯負(fù)湎嘧兎矫娴睦碚摪l(fā)現(xiàn)。下面就簡單介紹一下他們的三個(gè)有關(guān)工作。
1970年代初期，索列斯和博士后克斯特列茲提出一種二維體系中新型的相變，后來被稱為KT相變。這就涉及到上面說到的漩渦了。當(dāng)然他們學(xué)習(xí)的不是水流，而是磁矩，它和水流速度方向一樣也是一種角度，所以也能形成漩渦。如上所說，形成一個(gè)漩渦是不容易的。但在他們的模型中，形成一對相反方向的漩渦卻容易得多，因?yàn)樗麄儗τ谶h(yuǎn)處的影響抵消了。所以在低溫的時(shí)候，磁矩漩渦都是成對的。但當(dāng)溫度升高后，這些漩渦對就會“分家”變成單個(gè)的漩渦，從而產(chǎn)生相變。雖然這種漩渦本身不能被觀測到，但KT相變的理論很好地預(yù)言了液氦薄層的超流相變性質(zhì)，而且后來在其它一些系統(tǒng)中也被觀察所證實(shí)。
KT相變理論是一個(gè)開創(chuàng)性的工作。在此之前，人們都認(rèn)為二維體系在有限溫度下不可能有相變，因?yàn)槿魏斡行虻慕Y(jié)構(gòu)都不能經(jīng)受熱漲落的顛覆。而KT相變理論的低溫相不是通常的“有序”態(tài)，而是正負(fù)漩渦的“緊耦合”態(tài)。而且這種相變只涉及空間相關(guān)性的變化而沒有對稱性的變化，這也與普通的相變不同。所以，可以說KT相變理論給“相變”本身帶來了新的學(xué)習(xí)空間。在這個(gè)基礎(chǔ)上，人們發(fā)展了一套相變理論稱為拓?fù)湎嘧�。還有人進(jìn)一步引入電子態(tài)的拓?fù)湫再|(zhì)作為“拓?fù)湫颉眮矶x物質(zhì)的相。不過關(guān)于拓?fù)湫蚴欠駥儆诳捎^察的物理量，現(xiàn)在還不清楚。
KT相變雖然涉及量子的超流現(xiàn)象，但還是可以借助經(jīng)典理論來了解。索列斯和克斯特列茲發(fā)現(xiàn)漩渦之間的相互作用和正負(fù)粒子類似，所以可以借用現(xiàn)成的電磁理論來搞定這個(gè)體系。而下一個(gè)要介紹的工作，就更加涉及到量子力學(xué)了。
霍爾效應(yīng)在中學(xué)物理中都教過。如果把通著電流的導(dǎo)體放在磁場中，它會在垂直于電流和磁場的方向形成一個(gè)電壓。這是因?yàn)檫\(yùn)動的電子受到洛侖茲力的影響。原先的電流與這個(gè)垂直電壓的比就是霍爾電導(dǎo)率。它與磁場強(qiáng)度和導(dǎo)電電子密度有關(guān)。這是經(jīng)典電磁理論就能解釋的現(xiàn)象。
但是1980年實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在某些二維電子體系（也就是自由電子被約束在材料表面或界面的體系）中，在變動磁場強(qiáng)度和載流子密度時(shí)，霍爾電導(dǎo)率不是連續(xù)變化而是階梯式變化的。也就是說霍爾電導(dǎo)率只能是某些特定的值，而那些值只與某些基本物理常數(shù)有關(guān)，卻與材料的具體性質(zhì)和實(shí)驗(yàn)的條件無關(guān)。這被稱為“量子霍爾效應(yīng)”。（量子霍爾效應(yīng)還有整數(shù)分?jǐn)?shù)之分，這里就不詳細(xì)說了。）霍爾效應(yīng)的“量子化”本來就夠奇怪了，更奇怪的是這種現(xiàn)象是如此普遍（在很多材料中都能觀察到）和穩(wěn)定（即使材料有缺陷和雜質(zhì)也沒關(guān)系）。由于量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)，有四名物理學(xué)家分兩次得了諾貝爾獎，其中包括華裔物理學(xué)家崔琦（DanielC. Tsui）。
在量子霍爾效應(yīng)被發(fā)現(xiàn)后兩年（1982年），索列斯和同事們就發(fā)表了一個(gè)理論解釋。他們通過基本的量子力學(xué)計(jì)算，把霍爾電導(dǎo)率表達(dá)為一個(gè)波函數(shù)的積分。然后他們引入一個(gè)人造的周期勢，以便具體算出波函數(shù)和霍爾電導(dǎo)率。最后他們證明了霍爾電導(dǎo)率的量子化，即使在那個(gè)周期勢趨于零的時(shí)候也是如此。后來人們指出，他們提出的那個(gè)積分其實(shí)就是拓?fù)鋵W(xué)上的“陳數(shù)”，所以積分的值總是整數(shù)。1985年，索列斯等又發(fā)表一篇論文，不再依賴于周期勢而是通過邊界條件得出了同樣的量子化結(jié)果。這就表明了量子霍爾效應(yīng)與波函數(shù)的細(xì)節(jié)無關(guān)，而只取決于整個(gè)系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫再|(zhì)和基態(tài)的簡并度。所以它是相當(dāng)普適和穩(wěn)定的。
受到這個(gè)見解的啟發(fā)，另一名得獎?wù)吖柕みM(jìn)一步提出了一個(gè)極其簡約的模型來重現(xiàn)類似現(xiàn)象。順此思路，人們發(fā)現(xiàn)沒有外加磁場的情況下也可能存在量子霍爾效應(yīng)。由于量子霍爾效應(yīng)伴隨著具有超導(dǎo)性質(zhì)的表面態(tài)，這些發(fā)現(xiàn)開創(chuàng)了一個(gè)新領(lǐng)域：拓?fù)浣^緣體。目前實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)證實(shí)了了拓?fù)浣^緣體的存在，以及不需外加磁場的“反常量子霍爾效應(yīng)”。人們希望通過這些奇妙的現(xiàn)象找到性能超群的新型電子材料。值得一提的是，這次諾貝爾獎的官方介紹中對拓?fù)浣^緣體一筆帶過，也許別有深意吧。
第三個(gè)工作是哈爾丹開創(chuàng)的一維磁性鏈（例如帶磁矩的原子組成的一維鏈）的學(xué)習(xí)。哈爾丹指出，一維磁性鏈中，自旋為半整數(shù)和整數(shù)的情況有本質(zhì)的區(qū)別。其實(shí)加上時(shí)間的維度的話，一維磁性鏈就成為一個(gè)二維系統(tǒng)，而哈爾丹的結(jié)論和上面第一個(gè)工作的KT相變有關(guān)。這個(gè)結(jié)果的一個(gè)推論就是：雖然磁性鏈中間看起來平平無奇（磁矩都抵消了），但相距很遠(yuǎn)的兩頭卻不能隨便亂動（否則就打破了中間的和諧）。所以這兩頭的磁矩之間就有了量子糾纏。這種糾纏是拓?fù)湫再|(zhì)決定的所以比較穩(wěn)定。自然而然地，這就給量子計(jì)算機(jī)帶來了新的思路。
凝聚態(tài)物理的拓?fù)淅碚摪l(fā)展過程中，華裔和中國科學(xué)家做出了不少重要貢獻(xiàn)。上面說到的索列斯1985年關(guān)于量子霍爾效應(yīng)的文章，兩個(gè)合作者都是華人：當(dāng)時(shí)索列斯的的學(xué)生牛謙和做高能物理的吳詠時(shí)（牛還是該論文的第一作者）。在諾貝爾委員會提供的得獎工作官方介紹中還提到了好幾個(gè)華人科學(xué)家的工作：美國華人物理學(xué)家文小剛關(guān)于拓?fù)湫蚧A(chǔ)理論的工作，中科院物理所和清華大學(xué)物理系團(tuán)隊(duì)實(shí)驗(yàn)觀測到量子反常霍爾效應(yīng)的工作，以及最近包括北大和中科院的幾個(gè)中外學(xué)習(xí)單位合作的發(fā)現(xiàn)固體中威爾費(fèi)米子（WeylFermion）的工作（作為得獎工作的一個(gè)推論）。而量子霍爾效應(yīng)理論中涉及的“陳數(shù)”（Chernnumber），就是歸功于華人數(shù)學(xué)家陳省身了。另外值得一提的是，拓?fù)洳牧系膶W(xué)習(xí)最近在中國很受青睞。薛其坤教授因?yàn)槠鋵?shí)驗(yàn)證實(shí)量子反�；魻栃�(yīng)等工作在2016年（諾貝爾獎宣布之前）獲得中國的“未來科學(xué)大獎物質(zhì)科學(xué)獎”。所以，繼2015年中國科學(xué)家屠呦呦獲得諾貝爾生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎之后，2016年又是諾貝爾獎史上中國科學(xué)界值得驕傲的一年。
這三個(gè)得獎工作都是在上世紀(jì)七，八十年代完成的。當(dāng)時(shí)凝聚態(tài)物理可說是在一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。在那以前，凝聚態(tài)物理基本是基于自由電子在晶格形成的外場中的運(yùn)動。其它的相互作用（電子之間的耦合，電子自旋和軌道的耦合，電子運(yùn)動與晶體震蕩的耦合等）都是作為微擾來處理。到了七，八十年代，這種方法遇到了很多困難。一些重要的物理現(xiàn)象（包括高溫超導(dǎo)）看來不能用微擾來解釋，而需要更加注重整體，而不是單點(diǎn)子狀態(tài)的新的數(shù)學(xué)工具。當(dāng)時(shí)在凝聚態(tài)物理中引入新數(shù)學(xué)有很多嘗試，如超過三維的空間解決準(zhǔn)晶體問題（quasicrystal），滲流（perculation），分形（fractal），混沌（chaos），阻挫（frustration）等。當(dāng)然其中有些工具并非針對整體現(xiàn)象。其中大多數(shù)努力得到的結(jié)果都是很有限的，但這又顯然是凝聚態(tài)物理的出路，所以這個(gè)方向的探索一直在進(jìn)行�，F(xiàn)代的凝聚態(tài)物理的活躍領(lǐng)域如強(qiáng)耦合（strongcoupling），演生現(xiàn)象（emergentphenomena）等都是如此。從這方面來說，2016年諾貝爾獎表彰的拓?fù)鋺B(tài)工作應(yīng)該算是引進(jìn)新數(shù)學(xué)比較成功的一個(gè)例子。但也需要指出，即使這幾個(gè)工作，雖然涉及的是體系的拓?fù)湫再|(zhì)，但借助拓?fù)鋵W(xué)數(shù)學(xué)結(jié)果的地方并不多。其中和拓?fù)鋵W(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系最緊密的是量子霍爾效應(yīng)的工作（量子霍爾系數(shù)與某個(gè)纖維叢的陳數(shù)有關(guān)）。但這個(gè)聯(lián)系也是在索列斯的工作發(fā)表后其他人領(lǐng)悟到的。而且拓?fù)洳牧系膶W(xué)習(xí)雖然最近很熱而且有不少很有趣的結(jié)果，但它的應(yīng)用范圍只是凝聚態(tài)物理中的一小局部而并非整個(gè)凝聚態(tài)物理的框架。所以，對凝聚態(tài)物理，乃至整個(gè)現(xiàn)代物理來說，尋找合適的數(shù)學(xué)工具仍然是一條漫漫長路，還有很多發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的機(jī)會等待著熱愛數(shù)學(xué)的物理學(xué)家們。
本文得到多位有關(guān)方面專家審閱指正，作者深表感謝。文責(zé)由作者本人承擔(dān)。
�。W陽峰）量子漩渦的奧妙-2016年物理諾貝爾獎介紹 |
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