Goldbach猜想是解析數(shù)論領(lǐng)域中的一項(xiàng)重大課題，自1742年提出以來，迄今仍未得到證明。英國數(shù)學(xué)家Hardy和Littlewood曾提出過一個(gè)著名的猜想，即對(duì)于每一個(gè)充分大的偶數(shù)，其Goldbach猜想的表法個(gè)數(shù)或素?cái)?shù)對(duì)的個(gè)數(shù)（雙記，下同）由以下漸近公式給出：

．

其中，第一個(gè)連乘積取過所有奇素?cái)?shù)，第二個(gè)連乘積取過的所有奇素因子。

盡管這一猜測(cè)性的結(jié)果得到了廣泛認(rèn)同并對(duì)Goldbach猜想的研究起到了實(shí)質(zhì)性的推動(dòng)作用，但本研究發(fā)現(xiàn)，Goldbach猜想的表法個(gè)數(shù)其實(shí)還存在另外一種同樣重要的漸近公式。

1.篩法與其應(yīng)用

假定為任一不小于6的有限偶數(shù)，命，，，，，取，如果用表示連續(xù)的素?cái)?shù)之積，則

．                                                                         （1）

容易看出，末項(xiàng)不大于、通項(xiàng)公式為

的集合與是兩個(gè)首項(xiàng)與公差互素的逆序等差數(shù)列。

一般地，在集合與的個(gè)元素中將奇素?cái)?shù)3、5、…、的所有倍數(shù)逐次分離出去之后，其剩余元素的總數(shù)可用下式表示

．                                                        （2）

當(dāng)取到時(shí)，由式（2）得

．                                                                     （3）

當(dāng)時(shí)，根據(jù)Mertens定理，由式（3）可得

．                                                                （4）

式中，為Euler常數(shù)，其數(shù)值為：

．

定義．若雙等差數(shù)列全集

，

則稱為Goldbach集合。

若屬于集合的某一元素中的兩個(gè)整數(shù)或有序數(shù)對(duì)均是素?cái)?shù)，即稱為素?cái)?shù)對(duì)。顯而易見，偶數(shù)所含的素?cái)?shù)對(duì)皆存在于該集合中。

同上，在集合的個(gè)元素中將含有奇素?cái)?shù)3、5、…、所有倍數(shù)的元素逐次分離出去之后，其剩余元素的總數(shù)可用下式表示

．                                             （5）

式中：（表示整除，表示不整除，下同）。

當(dāng)取到時(shí)，由式（5）得

．                                                                   （6）

一般地，當(dāng)取到時(shí)，由于集合與的剩余元素中仍存有一定量的合數(shù)，故集合的剩余元素不可能完全是素?cái)?shù)對(duì)。因此，當(dāng)偶數(shù)較小時(shí)，式（6）雖能得到較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，但并不能以此做為Goldbach猜想表法個(gè)數(shù)的漸近公式。

2.素?cái)?shù)分布

由于集合與是互為逆序的等差數(shù)列，故其元素中均有個(gè)奇素?cái)?shù)。就集合的剩余元素而言，當(dāng)中不大于的素?cái)?shù)被逐次分離出去的同時(shí)，中不小于的素?cái)?shù)也被分離了出去，故和的剩余元素中均有 個(gè)奇素?cái)?shù)。如果用、分別表示的任一剩余元素中兩個(gè)整數(shù)奇素?cái)?shù)分布的個(gè)數(shù)，則二者的平均值可統(tǒng)一用下式表示

．                                                                 （7）

其中，。

3. Hardy-Littlewood公式

命表示集合的任一剩余元素中素?cái)?shù)對(duì)的個(gè)數(shù)，則

．                                                                （8）

如果用表示集合被分離出去的元素中素?cái)?shù)對(duì)的總數(shù)，對(duì)式（8）進(jìn)行求和運(yùn)算，取，并注意到式（2）、式（5）和式（7），則當(dāng)取到時(shí)，可得

．                                          （9）

如果用表示不大于的奇素?cái)?shù)個(gè)數(shù)，則式（9）可以簡(jiǎn)化為

．                                                         （10）

由式（10）可以推出

．                                                 （11）

當(dāng)時(shí)，由式（11）可得

．                                                （12）

對(duì)于（）的一類偶數(shù)，由式（10）可推出Goldbach猜想表法個(gè)數(shù)的上界公式

．                                                      （13）

式中：為Euler函數(shù)（下同）。

當(dāng)時(shí)，由式（13）可得

．                                                                  （14）

對(duì)于（，或?yàn)榇笥?img src="http://idea.cas.cn/docimages/sparkdoc/doc/201610/sparkdoc_doc_201610092108358304.png" style="border: 0px; display: inline-block; max-width: 100%;">的素?cái)?shù)）的各類偶數(shù)，由于（），故由式（10）可推出Goldbach猜想表法個(gè)數(shù)的下界公式

．                                                     （15）

當(dāng)時(shí)，由式（15）可得

．                                                       （16）

4.新型公式

對(duì)于集合的任一剩余元素，若其中的素?cái)?shù)對(duì)個(gè)數(shù)以表之，合數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)以表之，其余數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)以表之，則顯然有

．                                                       （17）

根據(jù)三者與、之間的關(guān)系，可以推出

．                                               （18）

將式（18）代入式（17），并整理得

．                                              （19）

如果用表示集合被分離出去的元素中素?cái)?shù)對(duì)的總數(shù)，對(duì)式（19）進(jìn)行求和運(yùn)算，取，并注意到式（2）、式（5）和式（7），則當(dāng)取到時(shí)，由于，故得

．                    （20）

如果用表示不大于的奇素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，則式（20）可以簡(jiǎn)化為

．                                                 （21）

當(dāng)時(shí)，由式（21）并注意到式（3）和式（4），可得

．                                                     （22）

對(duì)于（）的一類偶數(shù)，可直接由式（21）推出Goldbach猜想表法個(gè)數(shù)的上界公式

．                                             （23）

當(dāng)時(shí)，由式（23）可得

．                                                                 （24）

對(duì)于（，或?yàn)榇笥?img src="http://idea.cas.cn/docimages/sparkdoc/doc/201610/sparkdoc_doc_201610092108358304.png" style="border: 0px; display: inline-block; max-width: 100%;">的素?cái)?shù)）的各類偶數(shù)，由于（），故由式（21）可直接得到Goldbach猜想表法個(gè)數(shù)的下界公式

．                                              （25）

當(dāng)時(shí)，由式（25）可得

．                                                          （26）

如果將式（20）中的花括號(hào)打開，則其第一項(xiàng)為集合的剩余元素中素?cái)?shù)的總數(shù)，第二項(xiàng)為集合的剩余元素的總數(shù)，由于二者之差大于0，故根據(jù)鴿籠原理，Goldbach猜想表法個(gè)數(shù)出現(xiàn)斷崖式下跌至0的情況不可能發(fā)生。

以上兩種公式均可準(zhǔn)確地描述Goldbach猜想表法個(gè)數(shù)的分布規(guī)律，可以相互印證�？偟膩碚f，當(dāng)偶數(shù)較小時(shí)，新型公式略微小于Hardy-Littlewood公式的計(jì)算結(jié)果；當(dāng)偶數(shù)趨近于無窮大時(shí)，二者之比為。因此，就尋求Goldbach猜想表法個(gè)數(shù)的下界而言，前者優(yōu)于后者；但就尋求Goldbach猜想表法個(gè)數(shù)的上界而言，后者優(yōu)于前者。

5.結(jié)論

本研究結(jié)果對(duì)Goldbach猜想的證明具有一定的參考價(jià)值，同時(shí)對(duì)Polignac猜想與孿生素?cái)?shù)猜想、Sophie German素?cái)?shù)猜想乃至生素?cái)?shù)猜想等數(shù)學(xué)難題的解決也有一定的借鑒意義。